Конечно! Давайте поэтапно выведем уравнение Блэка-Шоулза. Это один из краеугольных камней современной финансовой математики.
1. Предпосылки и допущения модели
Модель Блэка-Шоулза строится на следующих ключевых допущениях:
- Цена базового актива (S) следует геометрическому броуновскому движению:
$$ dS = \mu S dt + \sigma S dW $$
где:- $ \mu $ — ожидаемая доходность (дрейф).
- $ \sigma $ — волатильность.
- $ dW $ — винеровский процесс (стохастическая компонента, «белый шум»).
- Безрисковая процентная ставка (r) постоянна и известна.
- Волатильность (σ) постоянна и известна.
- Отсутствие арбитража: Невозможно получить прибыль без риска.
- Рынок является идеальным: нет транзакционных издержек, ценные бумаги бесконечно делимы, короткие продажи разрешены.
- Оплата по опциону происходит в момент исполнения (европейский опцион).
Наша цель — найти функцию $ V(S, t) $, которая определяет справедливую цену опциона (например, колла или пута) в момент времени $ t $ при цене акции $ S $.
2. Лемма Ито (Ключевой инструмент)
Поскольку $ S $ следует стохастическому процессу, и $ V $ является функцией от $ S $ и $ t $, мы должны использовать лемму Ито для нахождения дифференциала $ dV $.
Лемма Ито: Если случайный процесс $ x $ следует $$ dx = a(x,t)dt + b(x,t)dW $$, то для функции $ F(x, t) $ ее дифференциал равен:
$$ dF = \left( \frac{\partial F}{\partial t} + a \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{1}{2}b^2\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \right)dt + b\frac{\partial F}{\partial x}dW $$
Применяем к нашему случаю:
- $ x = S $
- $ a(S, t) = \mu S $
- $ b(S, t) = \sigma S $
- $ F = V(S, t) $
Получаем дифференциал цены опциона:
$$ dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW $$
Это уравнение показывает, что цена опциона $ V $ также следует стохастическому процессу с тем же источником неопределенности $ dW $, что и цена акции $ S $.
3. Построение безрискового портфеля (Суть вывода)
Идея Блэка и Шоулза гениальна: можно создать портфель, который будет мгновенно безрисковым, устранив стохастическую компоненту $ dW $.
Рассмотрим портфель $ \Pi $, состоящий из:
- Длинная позиция по одному опциону ($ -V $, так как мы его продали или должны купить? Правильнее: мы создаем портфель, который хотим сделать безрисковым. Обычно рассматривают портфель с -1 опционом).
- Короткая позиция по $ \Delta $ акциям ($ +\Delta S $, но так как позиция короткая, это $ -\Delta S $).
Более стандартный и понятный подход — рассмотреть портфель, в котором мы продаем 1 опцион и покупаем $ \frac{\partial V}{\partial S} $ акций.
Стоимость портфеля $ \Pi $:
$$ \Pi = -V + \frac{\partial V}{\partial S} S $$
(Знак «минус» перед $ V $ означает, что мы продали опцион).
4. Изменение стоимости портфеля ($ d\Pi $)
Изменение стоимости портфеля за малое время $ dt $ складывается из изменений его компонентов:
$$ d\Pi = -dV + \frac{\partial V}{\partial S} dS $$
Теперь подставим сюда выражения для $ dV $ и $ dS $:
- $$ dS = \mu S dt + \sigma S dW $$
- $$ dV = \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW $$
Подставляем:
$$ d\Pi = — \left[ \left( \frac{\partial V}{\partial t} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} dW \right] + \frac{\partial V}{\partial S} \left[ \mu S dt + \sigma S dW \right] $$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$$ d\Pi = \left[ -\frac{\partial V}{\partial t} — \mu S \frac{\partial V}{\partial S} — \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + \mu S \frac{\partial V}{\partial S} \right] dt + \left[ -\sigma S \frac{\partial V}{\partial S} + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} \right] dW $$
Волшебным образом сокращаются члены с $ \mu S \frac{\partial V}{\partial S} $ и, что самое важное, члены с $ dW $:
$$ d\Pi = \left[ -\frac{\partial V}{\partial t} — \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right] dt $$
Ключевой вывод: Стохастический член $ dW $ исчез! Это означает, что за малое время $ dt $ изменение стоимости портфеля $ \Pi $ является детерминированным (не случайным). Портфель $ \Pi $ является мгновенно безрисковым.
5. Применение принципа отсутствия арбитража
Если портфель безрисковый, то по условию отсутствия арбитража он должен приносить такую же доходность, как и любой другой безрисковый актив (например, облигация), то есть безрисковую процентную ставку $ r $.
Доходность портфеля $ \Pi $ за время $ dt $ равна $ d\Pi $. Поэтому:
$$ d\Pi = r \Pi dt $$
Подставляем сюда выражения для $ d\Pi $ и $ \Pi $:
$$ \left[ -\frac{\partial V}{\partial t} — \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right] dt = r \left[ -V + \frac{\partial V}{\partial S} S \right] dt $$
Сокращаем $ dt $ с обеих сторон (поскольку это верно для любого промежутка $ dt $):
$$ -\frac{\partial V}{\partial t} — \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = -rV + rS \frac{\partial V}{\partial S} $$
6. Окончательный вид уравнения Блэка-Шоулза
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить классический вид уравнения в частных производных (УЧП):
$$ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} — rV = 0 $$
Это и есть знаменитое уравнение Блэка-Шоулза.
Оно справедливо для цены $ V(S, t) $ любого производного финансового инструмента, цена которого зависит от $ S $ и $ t $ в рамках сделанных предположений (европейские опционы, варранты и т.д.).
7. Замечание о формуле Блэка-Шоулза
Само уравнение — это УЧП. Чтобы найти конкретную цену опциона (например, колла), необходимо решить это уравнение с учетом граничных условий.
- Для европейского опциона колл с ценой исполнения $ K $ и датой экспирации $ T $:
- Условие на дату экспирации (в момент $ t=T $): $ V(S, T) = \max(S — K, 0) $
- Граничные условия при $ S \to 0 $ и $ S \to \infty $.
Решение этого УЧП с данными условиями приводит к знаменитой формуле Блэка-Шоулза для цены опциона колл:
$$ C(S, t) = S \cdot N(d_1) — K e^{-r(T-t)} \cdot N(d_2) $$
где
$$ d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} $$
$$ d_2 = d_1 — \sigma \sqrt{T-t} ] $$
и $ N(x) $ — стандартная нормальная функция распределения.
Итог: Уравнение Блэка-Шоулза было выведено путем построения мгновенно безрискового портфеля и применения принципа отсутствия арбитража, что позволило устранить влияние случайной компоненты и параметра дрейфа $ \mu $.